追記

バックアップは行いましたが
アドレスかパスワードが違うと出てログイン出来ず、メールを受信できません(; ;)

auを解約されているのでしたら、以前のメールは再受信することはできません。
auメール持ち運びをご契約されているのでしたら、同じ手順にて設定が可能かと思います。
キャリアメールが無効になっている場合は、Gmailなどのフリーのサービスをご利用ください。

同じauで新規契約しましたがその場合も持ち運びの契約が必要なのでしょうか？

auで契約中でしたら、auの設定でご利用いただけるかと思います。
別の契約へ切り替えられたのでしたら以前のメールは受信できないかと思いますが詳細はauへお問い合わせください。

なお、機種変更時におそらくパスワードが変更になっていますので、
パスワードを再取得して、設定->メールアカウント設定で
新しいパスワードを入力してください。
※ アカウントを変更する際に、受信済みのメールがクリアされますので大切なメールは保護を行ってから変更してください。

パスワードの設定については以下のURLをご確認ください。
http://decomailer.azione.co.jp/faq/mail-password/
案内に従って設定を行っても、正常に設定出来ない場合は、上記に記載のあるパス確認のお問い合わせより、再度お問い合わせを行ってください。