以下をご確認ください。
https://d.czx.jp/faq/cant_receive

ありがとうございます。
リアルタイム受信を受信できるようにする設定はあるのでしょうか？

auのリアルタイム受信というものは一般のアプリには開放されておらず、標準メーラーでしか受信できません。
DecoMailer4の即時通知に関しては以下をご確認ください。

https://d.czx.jp/faq/notification

標準メーラー（iPhoneの初期メールアプリ）にも届いていないのですが、デコメーラーの利用により、リアルタイム受信したメールが消えていることはあるでしょうか？

標準メーラーで新しいメールが一切受信できない場合は以下をご確認ください。
https://d.czx.jp/faq/au_mail_app

特定のメールのみ受信できない場合は、迷惑メールなどへ振り分けられているか、送信側で問題が発生していると思います。
また、Twitterにてパスワード変更を求められるポップアップが出たとのことですが、こちらがフィッシングサイトなどである可能性も考えられますので、本物のサイトによるものかご注意ください。

特定の、すぐにメール送付があるような内容（パスワード変更など）が届きません。その他のメールは届いていると思います。
迷惑メールは確認する方法はあるのでしょうか？（au側の設定では迷惑メール設定は全解除しています。デコメーラー側で迷惑メールに振り分けられることはあるのでしょうか）

アプリでのログイン時に出ている内容の為、フィッシングサイトではありません（同様にパスワード変更がうまくいかない件が多々あるようです

デコメーラー側でサーバのメールを移動するような処理はありませんので、標準メーラーで迷惑メールフォルダを確認してください。
上記に該当せず、標準メーラーの受信箱にも届いていないのであれば送信側の問題です。

auですと迷惑メールフォルダ自体がないようです。
代わりに、ほかのアドレスからデコメーラーに送った際、
1ps26r1sbsn1p@mybox.awalker.jp

Mail System Error - Returned Mail
次のあて先へのメッセージはエラーのため送信できませんでした。

再送信を試みましたが送信先メールサーバの事由により送信できませんでした。
しばらくしてから再送信してください。

Your message was not delivered.
Remote host is not responding.

と言うメールが返ってきているようなのですが、これが原因なのでしょうか？

同じアドレスでも、送れる時と送れない時があるようです。

そちらのエラーは、おそらく自動転送先に無効なメールアドレスが設定されていますので「1ps26r1sbsn1p@mybox.awalker.jp」を転送先から解除してください。
転送にエラーが発生している場合でもメールは届いているはずですので、標準メーラーで受信できない場合は以下をご確認ください。
https://d.czx.jp/faq/au_mail_app