キャリアを変更した場合は過去のメールは受信できなくなります。
デコメーラーはオフラインでもメールを閲覧できるようアプリ内に保存していますので、
大切なメールは保護を行うことで、メールアドレスの変更後にもアプリ内にデータを消さずに残しておくことが可能です。
機種変更をした場合にはアプリ内のデータが消えてしまいますので
古い端末のデータをPCを使ってバックアップを行い、新しい機種へ復元してください。
方法については、以下の「コンピュータでバックアップする方法」の項目が参考になるかと思います。
http://support.apple.com/kb/HT1766?viewlocale=ja_JP