アプリのタスクを終了すると、自動受信はできません。
また、auの方は即時通知のご利用をおすすめいたします。

◎即時通知が通知されない場合
⇒通知の表示方法を表示しない等にしている可能性がございます。
※デコメーラーを起動している場合は通知は表示されません。
http://decomailer.azione.co.jp/faq/ezweb-forwardsetting/
http://decomailer.azione.co.jp/faq/immediately-not/

◎通知はされるが着信音がならない場合
http://decomailer.azione.co.jp/faq/ringtone-sound/